09. 확률변수

1. 확률변수의 개요

가. 확률변수의 정의

-확률 실험결과(표본 공간의 각 표본점)에서 원소에 숫자를 부여하는 규칙이나 함수

-확률 실험결과를 수로 나타내는 것

-모집단에서 관심 있는 변수

 

나. 확률변수의 특징

-(불확실성) 확률 실험의 불확실성을 효과적으로 표현 및 분석하기 위해 사용

-(모형화) 표본 공간의 원소를 숫자로 바꾸어 불확실한 현상을 수리적으로 모형화 가능

-(상태 공간) 확률변수 X가 취할 수 있는 모든 수의 집합 Sx로 표시

 

*아이를 둘 낳는 경우(확률적 실험)를 생각하자.

여기에서 표본 공간은 S = {BB, BG, GB, GG}, B : 아들, G : 딸

관심 1: 아들의 수를 확률변수 X라 하면,

X(BB) = 2, X(BG) = X(GB) = 1, X(GG) = 0으로 표본 공간의 원소를 숫자로 대응

관심 2: 아들이 있는지 여부를 Y라 하면,

Y(BB) = Y(BG) = Y(GB) = 1, Y(GG) = 0으로 표본 공간의 원소를 숫자로 대응

 

다. 확률변수의 종류

구분	특징	설명
이산 확률변수	-상태공간이 유한개의 수로 구성 -무수히 많더라도 셈할 수 있는 경우 -1,2,3, 등 셀 수 있는 정수값을 취하는 경우 (신생아 수, 고객 수)	-확률변수 X가 취할 수 있는 값(셈할 수 있는 값)
연속 확률변수	-상태공간이 어떤 구간으로 나타나는 확률변수 (사람의 키, 몸무게)	-확률변수가 취할 수 있는 모든 값

 

2. 이산 확률변수와 연속 확률변수의 기댓값

가. 이산 확률변수의 기댓값

구분	특징	설명
평균		-X의 평균 또는 기댓값 -X가 가질 수 있는 모든 값에 대한 합 -표본평균=관측값 x 표본비율
분산 표준편차

-표본의 크기 n을 크게 하면 통계학적 관점에서 볼 때, 표본은 모집단으로, 표본비율 Pi은 확률 질량 함수 f(xi)로, 표본 평균 x'(바)는 모평균(μ)으로 수렴할 것임

 

나. 연속 확률변수의 기댓값

구분	특징	설명
평균
분산 표준편차